A Fórmula de Pick e a Aproximação de PI

Georg Alexander Pick (1859 – 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite calcular a área de um polígono simples sobreposto a uma malha quadriculada, relacionando somente os nós localizados no perímetro deste polígono e o número de nós internos a ele.

Definição 1: Um nó é definido pela intersecção de duas retas da malha.

[Figura 1 - Nó]

Definição 2: Um polígono simples é aquele que não possui buracos no seu interior, nem intersecções com suas arestas.

[Figura 2 – Polígono simples e polígonos não-simples]

Teorema 1: Seja P um polígono simples. Sejam B o número de nós coincidentes ao perímetro e i o número de nós internos ao polígono. A área do polígono P será dada pela fórmula de Pick:

Para determinarmos a área de um triângulo, vamos considerar a figura abaixo, onde os pontos vermelhos são os coincidentes ao perímetro e os pontos verdes são internos AP polígono.

[Figura 3 - Triângulo]

Então, termos que B = 12 e i = 4. Aplicando na fórmula de Pick, obtemos:

Pela fórmula conhecida para calcula de áreas de triângulos temos que:

Vimos que é relativamente simples o cálculo. Claro que para determinar as áreas de triângulos é mais direto pela fórmula tradicional, mas para polígonos de complexa geometria, fica fácil determinar sua área:

 

[Figura 4 – Polígono com geometria complexa]

Temos que B = 96 e i = 157, logo:

Um estudo mais detalhado sobre a aplicação do Teorema de Pick em polígonos pode ser vista no link: http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/index.html

Como podemos relacionar o Teorema de Pick com π? Sabemos que π está relacionado com a fórmula da área do círculo:

Podemos encontrar aproximações para π utilizando o Teorema de Pick, encontrando polígonos que melhores se ajustem ao círculo.

Considere a figura 5 um círculo de raio unitário:

[Figura 5 – Círculo de raio 1]

Vejam que este círculo está entre os quadrados inscritos e circunscritos a ele. Vamos aproximar o valor de π pelos dois polígonos e observar qual melhor aproxima o valor de π. Para a aproximação pelo polígono interno, considere:

[Figura 6 – Aproximação pelo polígono inscrito]

Temos que B = 4 e i = 1, logo:

Pela equação (4), obtemos uma aproximação de π:

Uma aproximação muito ruim. Agora considere a figura abaixo, com o polígono circunscrito:

 

[Figura 7 – Aproximação pelo polígono circunscrito]

Temos que B = 8 e i = 1, logo:

Pela equação (4), obtemos uma aproximação de π:

Vejam que os valores encontrados em (5) e (6) são muito ruins, mas podemos aproximar melhor efetuando uma média entre os valores encontrados:

Aproximou, mas ainda é muito ruim. Vamos efetuar o mesmo procedimento para uma círculo de raio 3 unidades de comprimento:

 

[Figura 8 – Círculo de raio 3]

Vemos que o octógono é o polígono que melhor aproxima o círculo. Então temos que B = 16 e i = 21, logo:

Pela equação (4), obtemos uma aproximação de π:

Melhorou a aproximação, mas podemos melhorar ainda mais. Vamos aproximar π partindo de um círculo de raio 10 unidades de comprimento:

[Figura 9 – Círculo de raio 10]

Temos então que B = 36 e i = 293. Logo pela fórmula de Pick:

Pela equação (4), obtemos uma aproximação de π:

Vemos que ainda há o que melhorar. Tomemos um círculo de raio 30 unidades de comprimento:

 

[Figura 10 – Círculo de raio 30]

Temos então que B = 88 e i será igual a 1 quadrante vezes 4 mais 1 (que é o nó da origem comum aos quatro quadrantes: i = 2781. Logo pela fórmula de Pick:

Pela equação (4), obtemos uma aproximação de π:

Percebemos que o valor de π vai se aproximando cada vez mais de seu valor real. Poderíamos continuar com uma quantidade de nós cada vez maior para melhor aproximação, no entanto as ferramentas que disponho são totalmente manuais, gerando um trabalho enorme! Mas vejam que é natural que quando a quantidade de nós tende ao infinito, o valor aproximado de π tende ao seu valor real.

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